పోటీ పరీక్షలకు (Competitive Exams) సన్నద్ధమవుతున్న అభ్యర్థులకు స్వాగతం! మన గత ఆర్టికల్‌లో “what is the factorial of 100“ మరియు ఫ్యాక్టోరియల్ లోని సున్నాలను (Trailing Zeros) 5 సెకన్లలో ఎలా కనుక్కోవాలో షార్ట్‌కట్ ట్రిక్ నేర్చుకున్నాం.
In this quiz, you will find essential Factorial questions in Telugu that will help you prepare effectively.
చాలా మంది విద్యార్థులు గూగుల్‌లో “what is factorial of 100” లేదా “व्हाट इज द factorial ऑफ 100” అని సెర్చ్ చేసి కాన్సెప్ట్ నేర్చుకుంటారు, కానీ ప్రాక్టీస్ చేయకపోవడం వల్ల పరీక్షల్లో తప్పులు చేస్తారు. కాబట్టి, ఆప్టిట్యూడ్ (Quantitative Aptitude) విభాగంలో మీరు ఎంత పర్ఫెక్ట్‌గా ఉన్నారో చెక్ చేసుకోవడానికి ఈ క్రింది Practice Questions (క్విజ్) ని సాల్వ్ చేయండి.
Mega Practice Quiz: Factorials & Trailing Zeros (25 Questions)
Q1: 0! (Zero Factorial) విలువ ఎంత?
Answer: 1
Explanation: గణిత శాస్త్ర నియమాల ప్రకారం, సున్నా ఫ్యాక్టోరియల్ విలువ ఎల్లప్పుడూ 1 కు సమానం ($0! = 1$).
Q2: 1! + 0! విలువ ఎంత?
Answer: 2
Explanation: $1! = 1$ మరియు $0! = 1$. కాబట్టి $1 + 1 = 2$.
Q3: 5! విలువ ఎంత?
Answer: 120
Explanation: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Q4: 6! విలువ ఎంత?
Answer: 720
Explanation: $6! = 6 \times 5! = 6 \times 120 = 720$.
Q5: $n! = 24$ అయితే, $n$ విలువ ఎంత?
Answer: 4
Explanation: $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$. కాబట్టి $4! = 24$. కావున $n = 4$.
Q6: 10! విలువలో చివర ఎన్ని సున్నాలు (Trailing Zeros) వస్తాయి?
Answer: 2
Explanation: సున్నాలు కనుక్కోవడానికి 5 తో భాగించే షార్ట్‌కట్ వాడాలి. $10 / 5 = 2$. కాబట్టి 2 సున్నాలు ఉంటాయి.
Q7: 20! లో చివర వచ్చే సున్నాల సంఖ్య ఎంత?
Answer: 4
Explanation: $20 / 5 = 4$. కాబట్టి 4 సున్నాలు ఉంటాయి.
Q8: 50! విలువలో కుడి వైపున చివరగా ఎన్ని సున్నాలు (Trailing Zeros) ఉంటాయి?
Answer: 12
Explanation: ముందుగా $50 / 5 = 10$. వచ్చిన 10 ని మళ్లీ 5 తో భాగించాలి ($10 / 5 = 2$). మొత్తం సున్నాలు = $10 + 2 = 12$.
Q9: 100! (what is the factorial of 100) లో చివర ఎన్ని సున్నాలు వస్తాయి?
Answer: 24
Explanation: $100 / 5 = 20$. మళ్లీ $20 / 5 = 4$. మొత్తం సున్నాలు = $20 + 4 = 24$.
Q10: 125! లో చివర వచ్చే సున్నాల సంఖ్య ఎంత?
Answer: 31
Explanation: $125 / 5 = 25$
$25 / 5 = 5$
$5 / 5 = 1$
మొత్తం సున్నాలు = $25 + 5 + 1 = 31$.
Q11: 200! విలువలో చివర ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి?
Answer: 49
Explanation: $200 / 5 = 40$
$40 / 5 = 8$
$8 / 5 = 1$ (శేషం 3 ని వదిలేయాలి)
మొత్తం = $40 + 8 + 1 = 49$.
Q12: 500! లో చివర ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి?
Answer: 124
Explanation: $500 / 5 = 100$
$100 / 5 = 20$
$20 / 5 = 4$
మొత్తం = $100 + 20 + 4 = 124$.
Q13: 1000! విలువలో చివరగా వచ్చే సున్నాల సంఖ్య ఎంత?
Answer: 249
Explanation: $1000 / 5 = 200$
$200 / 5 = 40$
$40 / 5 = 8$
$8 / 5 = 1$
మొత్తం = $200 + 40 + 8 + 1 = 249$.
Q14: 4! యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె (Unit Digit) ఏది?
Answer: 4
Explanation: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$. 24 లో ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న అంకె 4.
Q15: 5! యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె (Unit Digit) ఏది?
Answer: 0
Explanation: $5! = 120$. ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న అంకె 0. (గుర్తుంచుకోండి: 5! మరియు ఆ పైనున్న ప్రతి ఫ్యాక్టోరియల్ కి ఒకట్ల స్థానంలో 0 మాత్రమే వస్తుంది).
Q16: 100! యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ఎంత?
Answer: 0
Explanation: 5! కంటే పెద్దదైన ఏ ఫ్యాక్టోరియల్ కైనా చివర సున్నాలు వస్తాయి. కాబట్టి 100! కి కూడా ఒకట్ల స్థానంలో 0 ఉంటుంది.
Q17: $\frac{8!}{6!}$ విలువ ఎంత?
Answer: 56
Explanation: $8!$ ని $8 \times 7 \times 6!$ గా రాయవచ్చు. కాబట్టి $\frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56$.
Q19: $6! – 5!$ విలువ ఎంత?
Answer: 600
Explanation: $6! = 720$ మరియు $5! = 120$. కావున $720 – 120 = 600$. (లేదా $5! \times (6 – 1) = 120 \times 5 = 600$).
Q20: $1! + 2! + 3! + 4!$ యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె (Unit digit) ఎంత?
Answer: 3
Explanation: $1! = 1$, $2! = 2$, $3! = 6$, $4! = 24$. వీటిని కలిపితే $1 + 2 + 6 + 24 = 33$. కాబట్టి ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 3.
Q21: 10! లో 2 యొక్క గరిష్ట ఘాతం (Highest power of 2) ఎంత?
Answer: 8
Explanation: ఒక ఫ్యాక్టోరియల్ లో ఏదైనా ప్రైమ్ నంబర్ (Prime Number) యొక్క గరిష్ట ఘాతం కనుక్కోవడానికి ఆ సంఖ్యతో వరుసగా భాగించాలి (సున్నాలు కనుక్కోవడానికి 5 తో భాగించినట్లే).
$10 / 2 = 5$
$5 / 2 = 2$
$2 / 2 = 1$
మొత్తం = $5 + 2 + 1 = 8$.
Q22: 20! లో 3 యొక్క గరిష్ట ఘాతం (Highest power of 3) ఎంత?
Answer: 8
Explanation: $20 / 3 = 6$
$6 / 3 = 2$
మొత్తం = $6 + 2 = 8$. కాబట్టి $3^8$ అనేది 20! ని భాగించే 3 యొక్క గరిష్ట ఘాతం.
Q23: $100! \times 200!$ విలువలో చివర ఎన్ని సున్నాలు వస్తాయి?
Answer: 73
Explanation: రెండు సంఖ్యలను గుణిస్తున్నప్పుడు, వాటి సున్నాలను కలుపుతాము (Add చేస్తాము). 100! లో 24 సున్నాలు ఉంటాయి. 200! లో 49 సున్నాలు ఉంటాయి. కాబట్టి మొత్తం = $24 + 49 = 73$ సున్నాలు.
Q24: $100! + 200!$ విలువలో చివర ఎన్ని సున్నాలు వస్తాయి?
Answer: 24
Explanation: రెండు సంఖ్యలను కలుపుతున్నప్పుడు (Addition), ఏ సంఖ్యలో తక్కువ సున్నాలు ఉంటాయో, ఆ మొత్తానికి కూడా అన్నే సున్నాలు వస్తాయి. 100! లో 24 సున్నాలు ఉన్నాయి కాబట్టి, జవాబు 24.
Q25: చాలా పెద్ద ఫ్యాక్టోరియల్స్ (ఉదాహరణకు 100!) ని సుమారుగా లెక్కించడానికి గణిత శాస్త్రంలో ఏ ఫార్ములాను ఉపయోగిస్తారు?
Answer: స్టెర్లింగ్ అంచనా (Stirling’s Approximation)
ఈ ఫార్ములా ద్వారా 100! లాంటి పెద్ద సంఖ్యల సుమారు విలువను ($9.33 \times 10^{157}$) కనుక్కుంటారు.
మీ కోసం చిన్న సవాల్ (Challenge for you)!
క్విజ్ లోని ప్రశ్నలన్నీ ప్రాక్టీస్ చేశారా? అయితే ఈ కింది ప్రశ్నకు సమాధానం కింద కామెంట్ చేయండి:
” 250! లో చివర ఎన్ని సున్నాలు (Trailing Zeros) ఉంటాయి? “
సరైన సమాధానం చెప్పిన వారికి మా తరువాతి పోస్ట్‌లో షౌట్-అవుట్ (Shout-out) ఇవ్వబడుతుంది!
